sejarah geometri euclid

GEOMETRI EUCLID Euclid Tidak banyak orang yang beruntung memperoleh kemasyhuran yang abadi seperti Euclid, ahli ilmu ukur Yunani yang besar. Meskipun semasa hidupnya tokoh-tokoh seperti Napoleon, Martin Luther, Alexander yang Agung, jauh lebih terkenal ketimbang Euclid tetapi dalam jangka panjang ketenarannya mungkin mengungguli semua mereka yang disebut itu. Selain kemasyhurannya, hampir tak ada keterangan terperinci mengenai kehidupan Euclid yang bisa diketahui. Misalnya, kita tahu dia pernah aktif sebagai guru di Iskandariah, Mesir, di sekitar tahun 300 SM, tetapi kapan dia lahir dan kapan dia wafat betul-betul gelap. Bahkan, kita tidak tahu di benua apa dan dikota apa dia dilahirkan. Meski dia menulis beberapa buku dan diantaranya masih ada yang tertinggal, kedudukannya dalam sejarah terutama terletak pada textbooknya yang hebat mengenai ilmu ukur yang bernama The Elements. Arti penting buku The Elements tidaklah terletak pada pernyataan rumus-rumus pribadi yang dilontarkannya. Hampir semua teori yang terdapat dalam buku itu sudah pernah ditulis orang sebelumnya, dan juga sudah dapat dibuktikan kebenarannya. Sumbangan Euclid terletak pada cara pengaturan dari bahan-bahan dan permasalahan serta formulasinya secara menyeluruh dalam perencanaan penyusunan buku. Di sini tersangkut, yang paling utama, pemilihan dalil-dalil serta perhitungan-perhitungannya, misalnya tentang kemungkinan menarik garis lurus diantara dua titik. Sesudah itu dengan cermat dan hati-hati dia mengatur dalil sehingga mudah difahami oleh orang-orang sesudahnya. Bilamana perlu, dia menyediakan petunjuk cara pemecahan hal-hal yang belum terpecahkan dan mengembangkan percobaan-percobaan terhadap permasalahan yang terlewatkan. Perlu dicatat bahwa buku The Elements selain terutama merupakan pengembangan dari bidang geometri yang ketat, juga di samping itu mengandung bagian-bagian soal aljabar yang luas berikut teori penjumlahan. Buku The Elements sudah merupakan buku pegangan baku lebih dari 2000 tahun dan tak syak lagi merupakan textbook yang paling sukses yang pernah disusun manusia. Begitu hebatnya Euclid menyusun bukunya sehingga dari bentuknya saja sudah mampu menyisihkan semua textbook yang pernah dibikin orang sebelumnya dan yang tak pernah digubris lagi. Aslinya ditulis dalam bahasa Yunani, kemudian buku The Elements itu diterjemahkan ke dalam pelbagai bahasa. Terbitan pertama muncul tahun 1482, sekitar 30 tahun sebelum penemuan mesin cetak oleh Gutenberg. Sejak penemuan mesin itu dicetak dan diterbitkanlah dalam beribu-ribu edisi yang beragam corak. Sebagai alat pelatih logika pikiran manusia, buku The Elements jauh lebih berpengaruh ketimbang semua risalah Aristoteles tentang logika. Buku itu merupakan contoh yang komplit sekitar struktur deduktif dan sekaligus merupakan buah pikir yang menakjubkan dari semua hasil kreasi otak manusia. Adalah adil jika kita mengatakan bahwa buku Euclid merupakan faktor penting bagi pertumbuhan ilmu pengetahuan modern. Ilmu pengetahuan bukanlah sekedar kumpulan dari pengamatan-pengamatan yang cermat dan bukan pula sekedar generalisasi yang tajam serta bijak. Hasil besar yang direnggut ilmu pengetahuan modern berasal dari kombinasi antara kerja penyelidikan empiris dan percobaan-percobaan di satu pihak, dengan analisa hati-hati dan kesimpulan yang punya dasar kuat di lain pihak. Kita masih bertanya-tanya apa sebab ilmu pengetahuan muncul di Eropa dan bukan di Cina, tetapi rasanya aman jika kita menganggap bahwa hal itu bukanlah semata-mata lantaran soal kebetulan. Memanglah, peranan yang digerakkan oleh orang-orang brilian seperti Newton, Galileo dan Copernicus mempunyai makna yang teramat penting. Tetapi, tentu ada sebab-musababnya mengapa orang-orang ini muncul di Eropa. Mungkin sekali faktor historis yang paling menonjol apa sebab mempengaruhi Eropa dalam segi ilmu pengetahuan adalah rasionalisme Yunani, bersamaan dengan pengetahuan matematika yang diwariskan oleh Yunani kepada Eropa. Patut kiranya dicatat bahwa Cina --meskipun berabad-abad lamanya teknologinya jauh lebih maju ketimbang Eropa-- tak pernah memiliki struktur matematika teoritis seperti halnya yang dipunyai Eropa. Tak ada seorang matematikus Cina pun yang punya hubungan dengan Euclid. Orang-orang Cina menguasai pengetahuan yang bagus tentang ilmu geometri praktis, tetapi pengetahuan geometri mereka tak pernah dirumuskan dalam suatu skema yang mengandung kesimpulan. Bagi orang-orang Eropa, anggapan bahwa ada beberapa dasar prinsip-prinsip fisika yang dari padanya semuanya berasal, tampaknya hal yang wajar karena mereka punya contoh Euclid yang berada di belakang mereka. Pada umumnya orang Eropa tidak beranggapan geometrinya Euclid hanyalah sebuah sistem abstrak, melainkan mereka yakin benar bahwa gagasan Euclid --dan dengan sendirinya teorinya-- memang benar-benar merupakan kenyataan yang sesungguhnya. Pengaruh Euclid terhadap Sir Isaac Newton sangat kentara sekali, sejak Newton menulis buku kesohornya The Principia dalam bentuk kegeometrian, mirip dengan The Elements. Berbagai ilmuwan mencoba menyamakan diri dengan Euclid dengan jalan memperlihatkan bagaimana semua kesimpulan mereka secara logis berasal mula dari asumsi asli. Tak kecuali apa yang diperbuat oleh ahli matematika seperti Russel, Whitehead dan filosof Spinoza. Kini, para ahli matematika sudah memaklumi bahwa geometri Euclid . bukan satu-satunya sistem geometri yang memang jadi pegangan pokok dan teguh serta yang dapat direncanakan pula, mereka pun maklum bahwa selama 150 tahun terakhir banyak orang yang merumuskan geometri bukan a la Euclid. Sebenarnya, sejak teori relativitas Einstein diterima orang, para ilmuwan menyadari bahwa geometri Euclid tidaklah selamanya benar dalam penerapan masalah cakrawala yang sesungguhnya. Pada kedekatan sekitar "Lubang hitam" dan bintang neutron --misalnya-- dimana gayaberat berada dalam derajat tinggi, geometri Euclid tidak memberi gambaran yang teliti tentang dunia, ataupun tidak menunjukkan penjabaran yang tepat mengenai ruang angkasa secara keseluruhan. Tetapi, contoh-contoh ini langka, karena dalam banyak hal pekerjaan Euclid menyediakan kemungkinan perkiraan yang mendekati kenyataan. Kemajuan ilmu pengetahuan manusia belakangan ini tidak mengurangi baik hasil upaya intelektual Euclid maupun dari arti penting kedudukannya dalam sejarah. Sejarah Geometri Euclid Geometri Euclidean adalah sistem matematika dikaitkan dengan Alexandria matematikawan Yunani Euclid , yang dijelaskan dalam buku teks tentang geometri yaitu Elements . Metode Euclid terdiri dalam asumsi satu set kecil intuitif menarik aksioma , dan menyimpulkan lainnya proposisi ( dalil ) dari ini. Meskipun banyak dari hasil Euclid telah dinyatakan oleh matematikawan sebelumnya, Euclid adalah yang pertama untuk menunjukkan bagaimana proposisi-proposisi bisa masuk ke dalam deduktif dan komprehensif sistem logis . Unsur dimulai dengan pesawat geometri, masih diajarkan di sekolah menengah sebagai yang pertama sistem aksiomatik dan contoh pertama dari bukti formal . It goes ke geometri solid dari tiga dimensi . Banyak dari Elemen menyatakan hasil dari apa yang sekarang disebut aljabar dan nomor teori , ditulis dalam bahasa geometris. Selama lebih dari dua ribu tahun, kata sifat "Euclid" tidak diperlukan karena tidak ada geometri lain yang disusun. Aksioma Euclid nampak seperti sangat jelas bahwa pembuktian teorema lainnya dianggap benar dalam arti, mutlak sering metafisik,. Namun, sekarang banyak lainnya konsisten diri non-Euclidean geometri diketahui, yang pertama yang telah ditemukan pada awal abad 19. Implikasi dari Einstein teori 's relativitas umum adalah bahwa ruang Euclidean adalah pendekatan yang baik terhadap sifat ruang fisik hanya di mana medan gravitasi tidak terlalu kuat. [4] Unsur Unsur terutama sebuah sistematisasi pengetahuan awal geometri. Keunggulannya di atas perawatan sebelumnya dengan cepat diakui, dengan hasil bahwa ada sedikit minat dalam melestarikan yang sebelumnya, dan mereka sekarang hampir semua hilang. Buku I-IV dan VI membahas geometri bidang datar. Banyak hasil tentang tokoh-tokoh pesawat terbukti, misalnya, Jika segitiga memiliki dua sudut yang sama, maka sisi subtended oleh sudut adalah sama tersebut. Teorema Pythagoras terbukti. Buku V dan VII-X berurusan dengan nomor teori, dengan nomor diperlakukan secara geometris melalui representasi mereka sebagai segmen garis dengan berbagai panjang. Pengertian seperti bilangan prima dan rasional dan bilangan irasional diperkenalkan. Yang tak terbatas bilangan prima terbukti. Buku XI-XIII geometri perhatian padat. Hasil khas adalah rasio 01:03 antara volume kerucut dan silinder dengan ketinggian yang sama dan basis. Persamaan postulat: Jika dua garis berpotongan sepertiga sedemikian rupa sehingga jumlah dari sudut-sudut bagian dalam di satu sisi kurang dari dua sudut yang tepat, maka mau tidak mau harus dua baris saling berpotongan pada sisi jika diperpanjang cukup jauh. Aksioma Geometri Euclidean adalah sistem aksiomatik , di mana semua teorema ("pernyataan benar") berasal dari sejumlah kecil aksioma. Menjelang awal buku pertama dari Elemen, Euclid memberikan lima postulat (aksioma) untuk pesawat geometri , menyatakan dalam hal konstruksi (sebagaimana diterjemahkan oleh Thomas Heath): "Mari berikut akan mendalilkan": 1. "Untuk menggambar garis lurus dari setiap titik ke titik apapun. " 2. "Untuk menghasilkan [memperluas] sebuah garis lurus yang terbatas terus menerus dalam garis lurus. " 3. "Untuk menggambarkan lingkaran dengan pusat dan jarak [radius]. " 4. "Itu semua sudut yang tepat sama dengan satu sama lain." 5. Para paralel dalil : "Itu, jika garis lurus jatuh di dua jalur lurus membuat sudut interior pada sisi yang sama kurang dari dua sudut yang tepat, dua garis lurus, jika diproduksi tanpa batas waktu, bertemu di sisi itu yang adalah sudut kurang dari dua sudut yang tepat. " Meskipun pernyataan Euclid dari postulat hanya secara eksplisit menegaskan keberadaan konstruksi, mereka juga diambil untuk menjadi unik. Elements juga memasukkan lima "notasi biasa": 1. Hal-hal yang sama dengan hal yang sama juga sama satu dengan lainnya. 2. Jika sesuatu yang sama ditambahkan ke sama, maka keutuhan adalah sama. 3. Jika sesuatu yang sama dikurangkan dari sama, maka sisanya adalah sama. 4. Hal-hal yang bertepatan dengan satu sama lain sama satu sama lain. 5. Keseluruhan lebih besar daripada bagian. Paralel postulat Untuk nenek moyang, paralel mendalilkan tampak kurang jelas dari yang lain. Euclid sendiri tampaknya telah dianggap sebagai yang secara kualitatif berbeda dari yang lain, sebagaimana dibuktikan oleh organisasi dari Elemen: 28 yang pertama ia menyajikan proposisi adalah mereka yang dapat dibuktikan tanpa itu. Aksioma banyak alternatif dapat dirumuskan yang sama konsekuensi logis sebagai paralel dalil. Misalnya aksioma Playfair 's menyatakan: Dalam pesawat, melalui titik tidak pada garis lurus yang diberikan, paling banyak satu baris dapat ditarik bahwa tidak pernah memenuhi garis yang diberikan. Sebuah bukti dari elemen Euclid bahwa, mengingat segmen garis, segitiga sama sisi ada yang mencakup segmen sebagai salah satu sisinya. Buktinya adalah dengan mengkonstruksi sebuah segitiga sama sisi ΑΒΓ dibuat dengan menggambar lingkaran dan Δ Ε berpusat pada poin Α dan Β, dan mengambil satu persimpangan lingkaran sebagai titik ketiga dari segitiga. Metode pembuktian Geometri Euclid adalah konstruktif . Postulat 1, 2, 3, dan 5 menegaskan bahwa keberadaan dan keunikan dari bidang geometri tertentu, dan penegasan ini adalah konstruksi alam: yaitu, kita tidak diberitahu bahwa sesuatu itu ada, tetapi juga kita diberikan metode untuk membuatnya dengan lebih dari satu tidak ada kompas dan lurus yang tidak bertanda . Dalam hal ini, geometri Euclid adalah lebih konkrit daripada kebanyakan sistem aksiomatik modern seperti teori set , dimana sering menegaskan keberadaan objek tanpa memberitahukan bagaimana mengkonstruksi mereka, atau menegaskan keberadaan objek yang tidak dapat dibangun dalam teori. Tepatnya, garis-garis pada kertas model dari objek didefinisikan dalam sistem formal, bukan contoh objek tersebut. Misalnya garis lurus Euclidean memiliki lebar tidak, tetapi setiap garis yang ditarik nyata akan. Meskipun hampir semua matematikawan modern yang mempertimbangkan metode nonconstructive hanya sebagai suara sebagai yang konstruktif, bukti konstruktif Euclid sering digantikan keliru nonconstructive yang-misalnya, beberapa bukti Pythagorean 'yang irasional nomor yang terlibat, yang biasanya diperlukan pernyataan seperti "Cari ukuran umum terbesar dari ... " Euclid sering digunakan bukti oleh kontradiksi . Geometri Euclidean juga memungkinkan metode superposisi, di mana angka ditransfer ke titik lain di ruang angkasa. Misalnya, proposisi I.4, sisi-sudut-sisi kongruensi segitiga, terbukti dengan memindahkan salah satu dari dua segitiga sehingga salah satu sisinya bertepatan dengan sisi segitiga sama lain, dan kemudian membuktikan bahwa sisi lain bertepatan juga . Beberapa perawatan modern menambahkan seperenam postulat, kekakuan segitiga, yang dapat digunakan sebagai alternatif untuk superposisi. Sistem pengukuran dan aritmatika Geometri Euclidean memiliki dua tipe dasar pengukuran: sudut dan jarak. Skala sudut adalah mutlak, dan Euclid menggunakan sudut yang tepat sebagai unit dasarnya, sehingga, misalnya, sebuah sudut 45 derajat akan disebut sebagai setengah dari sudut kanan. Skala jarak relatif, satu sewenang-wenang mengambil segmen garis dengan panjang tertentu sebagai unit, dan jarak lainnya disajikan dalam kaitannya dengan hal itu. Sebuah garis dalam geometri Euclidean adalah model garis bilangan real . Sebuah segmen garis adalah bagian dari garis yang dibatasi oleh dua titik akhir, dan berisi setiap titik pada garis antara titik akhir. Penambahan diwakili oleh konstruksi di mana satu segmen garis akan disalin ke akhir dari suatu segmen garis untuk memperpanjang panjangnya, dan juga untuk pengurangan. Pengukuran luas dan volume berasal dari jarak. Sebagai contoh, sebuah persegi panjang dengan lebar 3 dan panjang 4 memiliki luas yang mewakili produk, 12. Karena interpretasi geometris dari perkalian terbatas pada tiga dimensi, tidak ada cara langsung menafsirkan produk dari empat atau lebih angka, dan Euclid dihindari produk tersebut, meskipun mereka tersirat, misalnya, dalam bukti buku IX, proposisi 20. Contoh kongruensi. Dua angka di sebelah kiri adalah kongruen, sementara yang ketiga adalah serupa kepada mereka. Angka terakhir adalah tidak. Perhatikan bahwa congruences mengubah beberapa sifat, seperti lokasi dan orientasi, tetapi membiarkan orang lain tidak berubah, seperti jarak dan sudut . Jenis kedua sifat ini disebut invariants dan belajar mereka adalah inti dari geometri. Euclid mengacu pada sepasang garis, atau sepasang tokoh planar atau padat, sebagai "sama" (ἴσος) jika panjang mereka, daerah, atau volume adalah sama, dan juga untuk sudut. Istilah lebih kuat " kongruen "mengacu pada ide bahwa seorang tokoh seluruh ukuran yang sama dan bentuk sebagai sosok lain. Atau, dua tokoh yang kongruen jika seseorang dapat dipindahkan di atas yang lain sehingga cocok dengan persis. (Flipping di atas diperbolehkan.) Jadi, misalnya, persegi panjang 2x6 dan 3x4 persegi panjang adalah sama tetapi tidak kongruen, dan huruf R adalah kongruen dengan bayangannya. Angka yang akan kongruen kecuali untuk ukuran mereka yang berbeda disebut sebagai serupa. Notasi dan terminologi Penamaan poin dan angka Poin lazim diberi nama menggunakan huruf alfabet. Tokoh lainnya, seperti garis, segitiga, atau lingkaran, diberi nama dengan daftar cukup banyak poin untuk menjemput mereka keluar jelas dari angka yang relevan, misalnya, segitiga ABC biasanya akan menjadi segitiga dengan simpul pada titik-titik A, B, dan C . sudut pelengkap dan penunjang Sudut yang jumlah adalah sudut siku-siku disebut komplementer , mereka yang jumlah adalah sudut lurus adalah tambahan . Modern versi notasi Euclid Dalam terminologi modern, sudut biasanya akan diukur dalam derajat atau radian . Buku pelajaran sekolah modern sering mendefinisikan tokoh terpisah yang disebut baris (tak terbatas), sinar (semi-infinite), dan segmen garis (panjang terbatas). Euclid, daripada membahas sebuah sinar sebagai objek yang meluas hingga tak terbatas dalam satu arah, biasanya akan menggunakan lokusi seperti "jika baris ini diperpanjang dengan panjang yang cukup," meskipun ia kadang-kadang disebut "garis yang tak terbatas." Sebuah "garis" dalam Euclid dapat berupa lurus atau melengkung, dan ia menggunakan istilah yang lebih spesifik "garis lurus" bila diperlukan. Beberapa hasil penting atau terkenal • Jembatan keledai teorema menyatakan bahwa A = B dan C = D. • Jumlah dari sudut A, B, dan C adalah sama dengan 180 derajat. • Teorema Pythagoras: Jumlah dari bidang dua kotak pada kaki (a dan b) dari sebuah segitiga siku-siku sama dengan luas persegi pada sisi miring (c). • Teorema Thales: jika AC adalah diameter, maka sudut di B adalah sudut kanan. Jembatan Menilai The Bridge of Menilai (Pons Asinorum) menyatakan bahwa dalam segitiga sama kaki sudut di dasar sama satu sama lain, dan, jika garis-garis lurus yang sama yang diproduksi lebih lanjut, maka sudut bawah dasar sama satu sama lain. Namanya mungkin dikaitkan dengan peran sering sebagai tes nyata pertama dalam Unsur-unsur kecerdasan pembaca dan sebagai jembatan untuk proposisi keras yang diikuti. Hal ini juga mungkin dinamakan demikian karena kemiripannya sosok geometris untuk jembatan yang curam yang hanya seekor keledai yakin-kaki bisa menyeberang. Kesesuaian segitiga Kongruensi segitiga ditentukan dengan menentukan dua sisi dan sudut antara mereka (SAS), dua sudut dan sisi antara mereka (ASA) atau dua sudut dan sisi yang berdekatan sesuai (SSA). Menentukan dua sisi dan sudut yang berdekatan (SSA), bagaimanapun, dapat menghasilkan dua segitiga yang mungkin berbeda. Segitiga adalah kongruen jika mereka memiliki ketiga sisi yang sama (SSS), dua sisi dan sudut antara mereka sama (SAS), atau dua sudut dan sisi yang sama (ASA) (Buku I, proposisi 4, 8, dan 26). (Segitiga dengan tiga sudut yang sama umumnya serupa, tetapi belum tentu kongruen Juga, segitiga dengan dua sisi yang sama dan sudut yang berdekatan tidak selalu sama..) Jumlah sudut sebuah segitiga Jumlah sudut sebuah segitiga sama dengan sudut lurus (180 derajat). Teorema Pythagoras Para terkenal Pythagoras Teorema (buku I, proposisi 47) menyatakan bahwa dalam setiap segitiga siku-siku, luas persegi yang sisi adalah sisi miring (sisi berlawanan sudut yang tepat) sama dengan jumlah dari bidang kotak yang sisi-sisinya dua kaki (kedua belah pihak yang bertemu di sudut kanan). Thales 'Teorema Thales 'Teorema , yaitu setelah Thales dari Miletus menyatakan bahwa jika A, B, dan C adalah titik pada lingkaran di mana AC line adalah diameter lingkaran, maka sudut ABC adalah sudut kanan. Penyanyi menyangka bahwa Thales membuktikan Teorema melalui Euclid buku saya, prop 32 menurut cara Euclid buku III, prop 31. Tradisi mengatakan bahwa Thales dikorbankan lembu untuk merayakan teorema ini. Scaling daerah dan volume Dalam terminologi modern, area sosok pesawat sebanding dengan kuadrat dari setiap dimensi linier, , Dan volume yang solid untuk kubus, . Euclid membuktikan hasil ini dalam berbagai kasus khusus seperti luas lingkaran dan volume yang solid parallelepipedal. Euclid ditentukan, tapi tidak semua, dari konstanta proporsionalitas yang relevan. Misalnya, itu penggantinya Archimedes yang membuktikan bahwa bola memiliki 2/3 volume silinder circumscribing. Aplikasi Karena status dasar geometri Euclidean dalam matematika, tidak mungkin untuk memberikan lebih dari sampling wakil dari aplikasi di sini. Sebuah surveyor menggunakan Tingkat Kemasan Sphere berlaku untuk tumpukan jeruk . Sebuah cermin parabola membawa sinar paralel dari cahaya untuk fokus. Seperti yang disarankan oleh etimologi kata, salah satu alasan paling awal untuk kepentingan dalam geometri itu survei , dan hasil praktis tertentu dari geometri Euclidean, seperti properti yang tepat-sudut segitiga 3-4-5, digunakan jauh sebelum mereka terbukti secara formal. Jenis-jenis dasar pengukuran dalam geometri Euclidean adalah jarak dan sudut, dan kedua kuantitas dapat diukur langsung oleh surveyor. Secara historis, jarak sering diukur dengan rantai seperti rantai Gunter itu , dan sudut menggunakan lingkaran lulus dan, kemudian, teodolit . Sebuah aplikasi dari geometri Euclidean yang solid adalah penentuan pengaturan kemasan , seperti masalah untuk menemukan yang paling efisien kemasan bola dalam dimensi n. Masalah ini memiliki aplikasi dalam deteksi dan koreksi kesalahan . Optik geometris menggunakan geometri Euclidean untuk menganalisis fokus cahaya oleh lensa dan cermin. • Geometri digunakan dalam seni dan arsitektur. • Menara air terdiri dari kerucut, silinder, dan belahan bumi. Volumenya dapat dihitung dengan menggunakan geometri padat. • Geometri dapat digunakan untuk merancang origami. Geometri digunakan secara luas dalam arsitektur . Geometri dapat digunakan untuk merancang origami . Beberapa masalah konstruksi klasik geometri tidak mungkin menggunakan kompas dan penggaris-sejajar , tetapi dapat diselesaikan dengan menggunakan origami . Sebagai gambaran dari struktur ruang Euclid percaya bahwa aksioma rekannya jelas pernyataan tentang realitas fisik. Bukti Euclid tergantung pada asumsi mungkin tidak jelas dalam aksioma mendasar Euclid, khususnya yang gerakan tertentu dari angka tidak mengubah sifat geometris mereka seperti panjang sisi dan sudut interior, yang disebut gerakan Euclidean, yang meliputi terjemahan dan . rotasi angka Diambil sebagai deskripsi fisik ruang, postulat 2 (memperluas baris) menegaskan ruang yang tidak memiliki lubang atau batas-batas (dengan kata lain, ruang homogen dan tak terbatas); postulat 4 (kesetaraan sudut kanan ) mengatakan bahwa ruang adalah isotropik dan angka mungkin akan dipindahkan ke lokasi manapun dengan tetap menjaga keselarasan, dan postulat 5 (paralel dalil) bahwa ruang adalah datar (tidak memiliki kelengkungan intrinsik .) Sebagaimana dijelaskan lebih rinci di bawah, teori relativitas Einstein secara signifikan mengubah pandangan ini. Karakter ambigu aksioma sebagai awalnya dirumuskan oleh Euclid memungkinkan komentator yang berbeda untuk tidak setuju tentang beberapa implikasi mereka yang lain untuk struktur ruang, seperti apakah atau tidak itu adalah tak terbatas (lihat di bawah) dan apa yang topologi adalah. Modern, lebih ketat formulasi ulang dari sistem biasanya bertujuan untuk pemisahan bersih dari masalah ini. Interpreting aksioma Euclid dalam semangat pendekatan yang lebih modern, aksioma 1-4 konsisten dengan baik ruang tak terbatas atau terbatas (seperti dalam geometri berbentuk bulat panjang ), dan semua lima aksioma konsisten dengan berbagai topologi (misalnya, pesawat, silinder , atau torus untuk dua dimensi geometri Euclidean). Archimedes dan Apollonius Bola A memiliki 2/3 volume dan luas permukaan silinder circumscribing. Sebuah bola dan silinder ditempatkan di makam Archimedes atas permintaannya. Archimedes (ca. 287 SM -. ca 212 SM), seorang tokoh yang penuh warna tentang siapa anekdot bersejarah dicatat, dikenang bersama dengan Euclid sebagai salah satu yang terbesar yang hebat matematika kuno. Meskipun dasar karyanya ditempatkan di tempat oleh Euclid, karyanya, tidak seperti Euclid, diyakini telah sepenuhnya asli. Ia membuktikan persamaan untuk volume dan bidang berbagai tokoh dalam dua dan tiga dimensi, dan diucapkan dalam Archimedes properti nomor terbatas. Apollonius dari Perga (ca. 262 SM-190 SM ca.) terutama dikenal untuk penyelidikan tentang bagian berbentuk kerucut. René Descartes. Potret setelah Frans Hals , 1648. abad ke-17: Descartes René Descartes (1596-1650) mengembangkan analisis geometri , metode alternatif untuk meresmikan geometri. Dalam pendekatan ini, titik yang diwakili oleh Cartesian koordinat (x, y), baris diwakili oleh persamaan, dan sebagainya . Dalam pendekatan asli Euclid, yang Teorema Pythagoras berikut dari aksioma Euclid. Dalam pendekatan Cartesian, aksioma adalah aksioma aljabar, dan persamaan mengekspresikan teorema Pythagoras ini kemudian definisi dari salah satu istilah dalam aksioma Euclid, yang sekarang dianggap theorems. Persamaan mendefinisikan jarak antara dua titik P = (p, q) dan Q = (r, s) kemudian dikenal sebagai Euclidean metrik , dan metrik lainnya mendefinisikan non-Euclidean geometri . Dalam hal analisis geometri, pembatasan geometri klasik untuk konstruksi kompas dan sejajar berarti pembatasan untuk persamaan pertama dan kedua-order, misalnya, y = 2 x + 1 (baris), atau x 2 + y 2 = 7 ( lingkaran). Juga pada abad ke 17, Desargues Girard , termotivasi oleh teori perspektif , memperkenalkan konsep poin ideal, garis, dan pesawat di tak terhingga. Hasilnya dapat dianggap sebagai jenis geometri umum, projective geometri , tetapi juga dapat digunakan untuk menghasilkan bukti-bukti dalam geometri Euclidean biasa di mana jumlah kasus khusus berkurang. Mengkuadratkan lingkaran: bidang ini persegi dan lingkaran ini adalah sama. Pada tahun 1882, terbukti bahwa angka ini tidak dapat dibangun dalam jumlah terbatas langkah dengan ideal kompas dan penggaris-sejajar . abad ke-18 Geometers dari abad ke-18 berjuang untuk menentukan batas-batas sistem Euclidean. Banyak sia-sia untuk membuktikan postulat kelima dari empat pertama. Dengan 1763 sedikitnya 28 bukti yang berbeda telah diterbitkan, tetapi semuanya ditemukan tidak benar. Menjelang periode ini, geometers juga mencoba untuk menentukan apa konstruksi dapat dicapai dalam geometri Euclidean. Misalnya, masalah trisecting sudut dengan kompas dan penggaris-sejajar adalah salah satu yang secara alamiah terjadi dalam teori, karena aksioma-aksioma merujuk pada operasi konstruktif yang dapat dilakukan dengan alat tersebut. Namun, abad upaya gagal untuk menemukan solusi untuk masalah ini, sampai Pierre Wantzel menerbitkan bukti pada tahun 1837 bahwa seperti konstruksi tidak mungkin. Konstruksi lain yang terbukti tidak mungkin termasuk menggandakan kubus dan mengkuadratkan lingkaran . Dalam kasus penggandaan kubus, ketidakmungkinan konstruksi berasal dari fakta bahwa kompas dan metode-sejajar melibatkan persamaan pertama dan orde kedua, sementara menggandakan kubus membutuhkan solusi dari persamaan orde ketiga. Sejarah geometri non Euclid David Hilbert (1862 – 1943) Riwayat David Hilbert menuntut ilmu di Gymnasium yang terdapat di kota tempat kelahirannya, Konigsberg. Setelah lulus, memasuki universitas Konigsberg, dimana dia diajar oleh Lindemann. Pernah kuliah selama satu semester di universitas Heidelberg di bawah bimbingan analis [Lazarus] Fuchs. Hilbert lulus pada tahun 1885 dengan thesis tentang teori invarian dan mempunyai teman kuliah, [Hermann] Minkowski, dimana mereka saling mempengaruhi satu dengan lainnya. Pada tahun 1884, [Adolf] Hurwitz mengajar di universitas Konigsberg dan cepat menjalin persahabatan dengan Hilbert. Persabahatan ini adalah faktor paling penting bagi perkembangan matematikal Hilbert. Tahun berikutnya, 1886, Hilbert menjadi staf pengajar di Konigsberg sampai tahun 1895, diangkat sebagai dosen utama sampai tahun 1892, diangkat menjadi asisten profesor sebelum menjadi profesor penuh pada tahun 1893. Pimpinan Konigsberg pada saat ini adalah Heinrich Weber yang sangat dikenal karena menghadirkan untuk pertama kalinya difinisi-difinisi abstrak untuk himpunan dan bidang pada periode 1880-1890., juga mengarang tiga buku teks aljabar. Hilbert sering melakukan perjalanan ke mancanegara guna menghadiri konggres matematikawan yang menjadi “ciri” abad itu. Suksesi Tahun 1892, Schward pindah dari Gottingen ke Berlin untuk menggantikan posisi Weierstrass dan Klein memberi penawaran kepada Hilbert untuk mengisi jabatan yang kosong di Gottingen itu kepada Hilbert. Klein gagal membujuk Hilbert dan posisi itu diisi oleh Heinrich Weber yang pindah dari Konigsberg. Posisi Weber, pada tahun 1883, diganti oleh Lindemann yang belum lama menerbitkan pembuktian bahwa Л adalah bilangan transenden. Lindemann pula yang menyarankan agar thesis Hilbert tentang teori invarian dan mendukung agar topik ini terus dipelajari. Weber hanya menjabat selama tiga tahun sebelum pindah ke Strasbourg dan, akhirnya, posisi itu diisi oleh Hilbert. Sejak tahun 1895, Hilbert menduduki posisi kepala bidang matematika di Gottingen. Ketenaran Hilbert dalam dunia matematika baru bersinar setalah tahun 1900 sehingga banyak institusi-institusi pendidikan berusaha menariknya dari Gottingen, sebelum untuk akhirnya pindah ke universitas Berlin pada tahun 1902 untuk menggantikan posisi Fuchs. Penggantinya di Gottingen adalah temannya, Hermann Minkowski. Teori invarian Hilbert Karya pertama Hilbert adalah teori invarian pada tahun 1888, dimana dia dapat membuktikan theorema basis yang tersohor. Pembuktian ini dikirimkan sebagai artikel pada Mathematische Annalen. [Paul] Gordan adalah profesor matematika di Erlangen sekaligus pakar dalam teori invarian, namun cara dan metode Hilbert yang revolusioner ini sulit dipahami sehingga perlu pihak ketiga yang menilai. Juri yang ditunjuk adalah Klein. Lewat teman akrabnya, Hurwitz, Hilbert mengetahui bahwa Gordan mengirim surat Klein guna membicarakan artikel tersebut. Mengetahui hal ini Hilbert menulis surat kepada Klein yang isinya menyatakan bahwa dia tidak akan melakukan perubahan pada artikel yang sudah dikirim. Klein menerima dua surat dari Hilbert dan Gordan, dimana saat itu Hilbert adalah asisten pengajar dari Gordan yang sangat terkenal di dunia karena teori invarian. Sisi lain Gordan juga mengetahui hubungan antara Klein dan Hilbert yang sudah terjalin lama. Akhirnya, Klein mengemukakan terobosan invarian dari Hilbert ini dan berjanji akan menerbitkan sebagai artikel pada Annalen, tanpa perubahan sedikitpun. Merasa bahwa karyanya dihargai, Hilbert mengembangkan metode lain dalam teori invarian untuk kembali diterbitkan dalam Mathematische Annelen dimana sebelumnya dikirim kepada Klein. Komentar dari Klein adalah: “Tidak perlu diragukan lagi, bahwa makalah ini adalah karya maha penting dalam bidang aljabar umum yang pernah diterbitkan oleh Annalen.” Sistimatika invarian Hilbert secara singkat dapat disebutkan sebagai berikut. Misalkan bentuk x dengan pangkat n, untuk menemukan bilangan terkecil dari invarian dan covarian rasional integral dapat dinyatakan sebagai bentuk rasional integral dengan koefisien-koefisien numerikal dari himpunan lengkap. Kiprah Hilbert Saat masih di Konigsberg, tahun 1893, Hilbert mengarang Zahlbericht untuk teori bilangan aljabarik. Komunitas matematika Jerman (German Mathematical Society) yang baru didirikan tiga tahun sebelumnya mendaulat agar karya ini dianggap sebagai laporan hasil perkembangan dari komunitas ini selama tiga tahun. Isi pokok buku ini adalah sistesis dari karya Kummer, Kronecker dan Dedekind namun dirangkai dan diisi dengan gagasan-gagasan Hilbert yang cemerlang. Semua gagasan ini sekarang lebih dikenal dengan sebutan teori bidang kelas (Class field theory). Karya penting Hilbert adalah makalah “On the Theory of Algebraic Forms” yang dimuat pada Mathematische Annalen pada tahun 1890. Di sini Hilbert mendifisnikan bentuk aljabarik sebagai fungsi homogen integral rasional dalam peubah-peubah tertentu dimana koefisien-koefisien adalah bilangan-bilangan dalam “wilayah rasionalitas” (domain of rationality). Theorema yang menyatakan bahwa untuk deret tak-terhingga S = F1, F2, F3, … dari bentuk-bentuk peubah-peubah n, x1, x2, x3, … xn terdapat bilngan m dalam bentuk berurutan yang diekspresikan sebagai F = A1F1 + A2F2 + … AmFm Dimana Ai adalah bentuk-bentuk yang sama dengan peubah-peubah n. Hilbert mengaplikasikan hasil ini untuk membuktikan sistem terbatas untuk invarian dengan bentuk-bentuk arbitrari banyak peubah. Tidak puas dengan teori invarian, Hilbert menjelajahi geometri. Geometri rekaan Hilbert dapat disebut sebagai sebuah karya besar setelah Euclid sendiri. Dari pembelajaran secara sistematik dari geometri Euclidian, Hilbert merumuskan dua puluh satu aksioma dan melakukan analisis terhadap masing-masing signifikansinya. Karya dalam geometri dituang dalam buku berjudul Grundlagen der geometrie pada tahun 1899, di mana geometri ditempatkan dalam tatanan aksioma yang formal. Buku ini terus diperbaharui dalam setiap edisinya dan kelak memberi dampak besar bagi pendekatan aksiomatik dalam matematika yang akan menjadi karakteristik utama bagi geometri saat memasuki abad 20. 23 problem matematika Hilbert juga dikenal karena mengemukakan 23 problem atau tantangan matematika bagi para matematikawan. Lewat pidatonya pada konggres internasional matematikawan kedua di Paris, disebutkan 23 problem yang menantang kreativitas para matematikawan. Disebutkan bahwa suatu problem matematika mampu merangsang otak-otak kreatif untuk berusaha menemukan solusi, namun apa yang diperoleh terkadang jauh dari harapan. Bukan berarti hasil sampingan (by-product) ini tidak berguna, justru hal ini akan memperkaya khasanah matematika. Fermat (baca: Fermat dan Wiles), sebagai contoh, meninggalkan TTF (Theorema Terakhir Fermat) yang mendorong adanya penemuan bilangan-bilangan ideal dari Kummer dan melakukan generalisasi dalam bidang aljabar yang diprakarsai oleh Dedekind dan Cantor akan mendasari teori bilangan modern dan akhirnya teori fungsi. Problem bilangan kardinal kontinuum dari Cantor 1. Keselarasan (compatibility) aksioma-aksioma dalam aritmatika 2. Kesamaan isi dari dua tetrahera yang mempunyai alas dan tinggi sama 3. Problem garis lurus sebagai jarak terpendek antara dua titik 4. Konsep transformasi kelompok (grup) berkesinambungan tanpa asumsi yang dapat berbedaa (differentiability) dari fungsi-fungsi dalam kelompok dari Lie. 5. Perlakuan matematikal terhadap aksioma-aksioma dalam fisika. 6. Bilangan-bilangan irrasional dan transenden tertentu 7. Problem bilangan-bilangan prima 8. Pembuktian dari hukum umum ketimbalbalikkan (reciprocity) dari berbagai bilangan dalam bidang. 9. Determinasi dari solvabilitas persamaan Diophantus 10. Bentuk-bentuk kuadratik dengan koefisien-koefisien aljabarik numerikal 11. Perluasan theorema Kronecker pada bidang Abelian bagi rasionalitas dalam lingkup aljabarik. 12. Ketidakmungkinan mencari solusi persamaan untuk dalam bentuk pangkat tujuh dengan menggunakan fungsi-fungsi yang mempunyai dua argumen. 13. Pembuktian terbatasnya sistem fungsi-fungsi lengkap tertentu 14. Dasar tak terbantahkan dari kalkulus enumeratif Schubert 15. Problem topologi dari kurva-kurv dan permukaan-permukaan aljabarik. 16. Ekspresi bentuk-bentuk tertentu dari persegi panjang 17. Membangun ruang dari polyhedra congruent 18. Apakah solusi untuk problem-problem umum dalam variasi kalkulus selalu membutuhkan analitik 19. Problem umum nilai-nilai batas 20. Bukti keberadaan persamaan-persamaan diferensial linier mempunyai kelompok monodromik yang sudah dijabarkan 21. Penyeragaman relasi-relasi analitik dalam fungsi-fungsi otomorphik 22. Pengembangan lebih lanjut metode variasi-variasi kalkulus Ruang Hilbert Karya Hilbert tentang persamaan-persamaan integral yang terbit pada tahun 1909, merintis penelitian dalam analisis fungsional (cabang matematika dimana fungsi-fungsi dipelajari secara terpisah). Karya ini juga memberi dasar kiprahnya dalam ruang dimensional tak terhingga (infinite-dimensional space), yang kemudian lebih dikenal dengan sebutan ruang Hilbert. Konsep ini berguna dalam analisis matematikal dan mekanika quantum. Penggunaan persamaan-persamaan integral, Hilbert mampu memberi sumbangsih bagi perkembangan fisika matematikal dan yang paling penting adalah memoarnya tentang teori gas kinetik dan teori radiasi. Ada beberapa orang yang menyebut bahwa pada tahun 1915, Hilbert sudah menemukan persamaan-persamaan bidang untuk relativitas umum sebelum dicetuskan oleh Einstein. Terdapat catatan yang menyebutkan bahwa Hilbert mengirimkan artikel tersebut pada tanggal 20 November 1915, lima hari sebelum Einstein menyerahkan artikel yang berisikan ralat terhadap persamaan-persamaan bidang. Artikel Einstein muncul pada tanggal 2 Desember 1915, tapi bukti bahwa makalah Hilbert (tertanggal 6 Desember 1915) tidak mencantumkan persamaan-persamaan bidang. Dasar-dasar Geometri Hilbert menekuni suatu bidang sampai benar-benar tuntas. Setelah usai dengan “Zahlbericht”, dia mulai beralih ke geometri. Sejak tahun1894 dia mengajar geometri non-Euclidian dan pada periode 1898-1899mengeluarkan buku “Dasar-dasar Geometri” (Grundlagen der Geometrie). Buku ini dapat disebut karya besar karena kemudian diterjemahkan ke bahasa negara terkemuka dan membawa dampak besar bagi perkembangan geometri pada abad 20. Geometri yang selama ini seakan dilupakan sejak Euclid, dijabarkan ulang dan banyak direvisi ulang oleh Hilbert. Hilbert merintis dengan memasukkan “karanter: aljabar dan analisis ke dalam geometri. Sistematika geometri dilakukan dengan membagi menjadi 3 obyek: titik, garis dan bidang dan enam kemungkinan keterhubungan. Lewat buku itu, Hilber mengukuhkan diri sebagai penggagas “aliran aksiomatik” yang memberi dampak besar terhadap matematika dan pendidikan matematika. Pangantar buku diawali dengan kutipan [Immanuel] Kant; “Semua pengetahuan manusia, diawali oleh intuisi, menghasilkan konsep-konsep, dan diakhiri dengan ide-ide.” Kutipan ini digunakan untuk menunjukkan bahwa dirinya anti-Kant. Menurutnya tidak ada [peran] intuisi dalam mempelajari geometri, dimana titik, garis dan bidang adalah elemen-elemen dari suatu himpinan tertentu. Teori himpunan (set theory) yang selama ini masuk wilayah aljabar dan analisis dipakai dalam geometri. Karya bersama Hermann Minkowski meninggal pada tahun 1909, meninggalkan kepedihan mendalam bagi Hilbert. Setelah merasa tuntas dengan geometri dan analisis - tidak diuraikan, Hilbert masuk fisika matematika. Sebelum dan setelah PD I, meneliti aplikasi persamaan-persamaaan integral untuk memecahkan teori-teori fisika seperti teroi kinetik dari gas. Penjelajahan ini membuat dia berkolaborasi dengan Emmy Noether (1888-1935) dalam mempelajari invarian diferensial. Emmy adalah anak aljabaris, Max Noether yang ditarik dari Gottingen oleh Hilbert dan Kelin untuk melakukan penelitian bersama. Hasil sampingan adalah Emmy mampu mengeluarkan buku pada tahun 1918 yang berisikan “Theorema Noether.” Sejak tahun 1990, Hilbert sudah mengerjakan aksiomatisasi, yang dimaksudkan untuk memecxahkan problem fisika yang terkait dengan mekanika quantum. Hasil akhir sudah akan diraih namun karena problem kesehatan, maka tongkat estafet penelitian diserahkan - lewat kolaborasi – dengan L. Nordheim dan J. von Neumann. Karya puncak Hilbert dalam aksiomatisasi aritmatikda dan logika dapat kita nikmati lewat para penerusnya. Karya Dasar-dasar matematika dan Dasar-dasar logika matematika lebih mengenalkan kolaboratornya sebagai Hilber-Bernays dan Hilbert-Ackermann. Sumbangsih Banyak cabang matematika yang ditekuni oleh Hilbert, dimana masing-masing mampu menunjukkan kualitasnya sehingga sangat sulit menyebutkan sumbangsih Hilbert secara spesifik. Dapat disebutkan teori invarian, bidang-bidang bilangan aljabarik, analisis fungsional, persamaan-persamaan integral, fisika matematikal dan variasi-variasi kalkulus. Ada yang menyebutkan bahwa bakat matematikal ditunjang dengan mengemukakan pemikiran-pemikiran baru dan menghubungkan semua disiplin-disiplin ilmu tersebut merupakan betapa banyaknya “jasa” Hilbert bagi perkembangan matematika dan fisika – khususnya mekanika quantumm baik secara sendiri maupun sebagai karya kolaborasi. Problem yang dikompilasi akan terus berupaya dipecahkan oleh matematikawan era berikutnya.